Récurrence

Prouvez en utilisant la récurrence pour tt n de N*:

1) 1+2+................+n= n(n+1)/2
2) 1²+2²+..............+n²= [n(n+1)(2n+1)]/6
3) 1^3+2^3+............+n^3= [n(n+1)/2]²

Amino555 a écrit:

Prouvez en utilisant la récurrence pour tt n de N*:

1) 1+2+................+n= n(n+1)/2

Soit P(n) la propriété :1+2+................+n= n(n+1)/2
Pour n_0 = 1 :
1(1+1)/2 = 1
donc P(1) est vraie.
Supposons que P(n) est vraie pour un n précis :
On a 1+2+3...+(n+1) = 1+2+3+...+n+n+1 = n(n+1)/2 +n+1 = (n²+3n+2)/2
et (n+1)(n+1+1)/2 = (n²+3n+2)/2
D'où P(n) est vraie pour tout n de IN*

Amino555 a écrit:

2) 1²+2²+..............+n²= [n(n+1)(2n+1)]/6

Soit P(n) la propriété 1²+2²+..............+n²= [n(n+1)(2n+1)]/6
Pour n_0 = 1
[1(1+1)(2.1+1]/6 = 1
donc P(1) est vraie.
Supposons que P(n) est vraie pour un n précis :
1²+2²+..............+(n+1)² = 1²+2²+...+n²+(n+1)² = [n(n+1)(2n+1)]/6 + (n+1)² = (n+1)(n+2)(2n+3)/6
[(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)]/6 = (n+1)(n+2)(2n+3)/6
D'où P(n) est vraie pour tout n de IN*

Amino555 a écrit:

3) 1^3+2^3+............+n^3= [n(n+1)/2]²

Soit P(n) la propriété :1^3+2^3+............+n^3= [n(n+1)/2]²
Pour n_0 = 1 :
1^3 = 1
[1(1+1)/2]² = 1
donc P(1) est vraie.
Supposons que P(n) est vraie pour un n précis :
1^3+2^3+............+(n+1)^3 = 1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3 = [n(n+1)/2]²+(n+1)^3 = [(n+1)(n+2)/2]²
et on a [(n+1)(n+1+1)/2]² = [(n+1)(n+2)/2]²
D'où P(n) est vraie pour tout n de IN*

J'espère que c'est juste

Oui maryam bravo