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 inégalité

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neutrino
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MessageSujet: inégalité   Ven 13 Juil - 14:08

(a,b)>=0 et a>b

tel ke : a^4+b^4=2a²b²+1

prouve que :

( 1/(a+b) )^n + (1+/(a-b) )^n >=2 ( n£ N )
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Maryam
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MessageSujet: Re: inégalité   Jeu 19 Juil - 5:15

Bonjour !

a^4+b^4=2a²b²+1 <==> 1 = (a²-b²)² = [(a-b) (a+b)]²
Or : 1 = [(a-1) (a+1)]^n / n £ IN
Donc (a-1)^n = [1/(a+1)]^n
( 1/(a+b) )^n + (1+/(a-b) )^n = (a-1)^n + (1+/(a-b) )^n
Et on a x+1/x >= 2
D'où le résultat.

Est ce correcte ?
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fladimir
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MessageSujet: Re: inégalité   Sam 21 Juil - 10:32

Maryam a écrit:
Bonjour !

a^4+b^4=2a²b²+1 <==> 1 = <(a²-b²)² = [(a-b) (a+b)]²
Or : 1 =< [(a-1) (a+1)]^n / n £ IN
Donc (a-1)^n =< [1/(a+1)]^n
( 1/(a+b) )^n + (1+/(a-b) )^n = (a-1)^n + (1+/(a-b) )^n
Et on a x+1/x >= 2
D'où le résultat.

Est ce correcte ?
wi jiste Laughing cheers
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neutrino
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MessageSujet: Re: inégalité   Sam 21 Juil - 11:05

Maryam a écrit:
Bonjour !

a^4+b^4=2a²b²+1 <==> 1 = (a²-b²)² = [(a-b) (a+b)]²
Or : 1 = [(a-1) (a+1)]^n / n £ IN
Donc (a-1)^n = [1/(a+1)]^n
( 1/(a+b) )^n + (1+/(a-b) )^n = (a-1)^n + (1+/(a-b) )^n
Et on a x+1/x >= 2
D'où le résultat.

Est ce correcte ?

c juste Laughing
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mhdi
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MessageSujet: Re: inégalité   Ven 23 Mai - 9:57

a^4+b^4=2a²b²+1 => (a²-b²)²=1 => (a+b)(a-b)=1 ou (a+b)(a-b)=-1
a>b et (a;b)>0 => (a+b)(a-b)>0 => (a+b)(a-b)=1

et puisque (a+b)(a-b)=1...
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